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   QiuYixuan: 有边界区间上的核密度估计  | 数螺 | NAUT IDEA
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       致力于数据科学的推广和知识传播
      </p>
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   <h1>
    QiuYixuan: 有边界区间上的核密度估计
   </h1>
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        <header class="entry-header">
         <h1 class="entry-title">
          有边界区间上的核密度估计
         </h1>
         <div class="entry-meta">
          <span class="date">
           <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/" rel="bookmark" title="链向有边界区间上的核密度估计的固定链接">
            <time class="entry-date" datetime="2010-04-11T13:07:51+00:00">
             2010/04/11
            </time>
           </a>
          </span>
          <span class="categories-links">
           <a href="http://cos.name/category/computing/optim-sim/" rel="category tag">
            优化与模拟
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/category/website/featured/" rel="category tag">
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            模型专题
           </a>
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          <span class="author vcard">
           <a class="url fn n" href="http://cos.name/author/yixuanq/" rel="author" title="查看所有由邱怡轩发布的文章">
            邱怡轩
           </a>
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        </header>
        <!-- .entry-header -->
        <div class="entry-content">
         <h2>
          一、一个例子
         </h2>
         <p>
          核密度估计应该是大家常用的一种非参数密度估计方法，从某种程度上来说它的性质比直方图更好，可以替代直方图来展示数据的密度分布。但是相信大家会经常遇到一个问题，那就是有些数据是严格大于或等于零的，在这种情况下，零附近的密度估计往往会出现不理想的情况。下面以一个指数分布的模拟数据为例（样本量为1000），R程序代码为：
         </p>
         <pre class="brush: r">set.seed(123);
x=rexp(1000,1);
plot(density(x,kernel="epanechnikov"),ylim=c(0,1.2));
lines(seq(0,8,by=0.02),dexp(seq(0,8,by=0.02),1),col="blue");
abline(v=0,col="red");</pre>
         <p>
          <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/04/kde_original_kernel_n1000.png">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/04/kde_original_kernel_n1000.png"/>
          </a>
         </p>
         <p>
          可以看出，理论上应该单调递减的密度函数在0附近有明显的“陡坡”，而且不应该有密度的小于零的区域也有着正的估计值。当样本量增大时，这种现象也不会得到明显好转，下图是将样本量改为10000时的情形。
         </p>
         <pre class="brush: r">set.seed(123);
x=rexp(10000,1);
plot(density(x,kernel="epanechnikov"),ylim=c(0,1.2));
lines(seq(0,8,by=0.02),dexp(seq(0,8,by=0.02),1),col="blue");
abline(v=0,col="red");</pre>
         <p>
          <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/04/kde_original_kernel_n10000.png">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/04/kde_original_kernel_n10000.png"/>
          </a>
         </p>
         <p>
          我们也许从平时看的书中了解到，当样本量趋于无穷时，核密度估计值将是收敛到真实的密度函数的，但我们可能不会特意去研究那些结论成立的条件。以上这两个简单的例子似乎给了我们一个直观的感觉，那就是当真实密度函数的支撑集（函数f(x)的支撑集指的是使得f(x)≠0的x的集合）有边界时，核密度估计值可能会出现一些不理想的情况。下面就简单地给出一些理论的结果。
         </p>
         <h2>
          二、理论分析
         </h2>
         <p>
          在一些必要的条件下（真实的密度函数f二阶导绝对连续，三阶导平方可积），核密度估计值$\hat{f}(x)$的偏差有表达式$Bias[\hat{f}(x)]=\frac{h^2\sigma_k^2f”(x)}{2}+O(h^4)$，其中h是带宽，$\sigma_k^2=\int u^2k(u)du$，k(u)是支集为[-1,1]的核函数（即在[-1,1]上有值，其余的地方取零）。可以看出这个偏差是随着带宽h的减小以$h^2$的速度趋于零的。
         </p>
         <p>
          而假设密度函数以0为边界，那么上述表达式将不再成立，而是代之以
          <br/>
          $E[\hat{f}_k(x)]=a_0(x)f(x)-ha_1(x)f'(x)+O(h^2)$
          <br/>
          其中$a_i(x)=\int_{-1}^{x/h}u^ik(u)du$。可以看出，当$x \ge h$时，$a_0(x)=1$，$a_1(x)=0$，此时的偏差跟之前的那个表达式没有区别；但当$0 \le x&lt;h$时，$a_0(x)$和$a_1(x)$都是非零的，于是偏差总是存在。
         </p>
         <p>
          也许你会提议说，将估计值除以$a_0(x)$，偏差就可以减小了吧？的确，这样是一种改进的办法，但也要注意到，此时h的一次项不会消除，也就是说原来$h^2$的衰减速度放慢到了h，从效率上说相对于理想的情况是大打了折扣。
         </p>
         <p>
          这时候一个巧妙的办法是，用另外一个核函数l(x)对f也做一次估计，那么就有
          <br/>
          $E[\hat{f}_l(x)]=b_0(x)f(x)-hb_1(x)f'(x)+O(h^2)$
          <br/>
          其中的$b_0$和$b_1$意义类似，只不过是针对l(x)的。
         </p>
         <p>
          对以上两个式子进行线性组合，则会有
          <br/>
          $b_1(x)*E[\hat{f}_k(x)]-a_1(x)*E[\hat{f}_l(x)]=[b_1(x)a_0(x)-a_1(x)b_0(x)]f(x)+O(h^2)$
          <br/>
          然后把f(x)的系数移到等式左边，O(h)项的偏差就神奇地消失了。
         </p>
         <p>
          通过观察核密度估计的表达式，我们可以将上面这个过程等价地认为是对f(x)用了一个新的核函数进行估计，这个新的核函数是
          <br/>
          $p(x)=\frac{b_1(x)k(x)-a_1(x)l(x)}{b_1(x)a_0(x)-a_1(x)b_0(x)}$
         </p>
         <p>
          特别地，如果将l(x)取为x*k(x)，那么p(x)将有一个简单的形式
          <br/>
          $p(x)=\frac{(a_2(x)-a_1(x)x)k(x)}{a_0(x)a_2(x)-a_1^2(x)}$
         </p>
         <p>
          当$x \ge h$时，这个新的核函数p(x)就是k(x)，而当$x \ge h$时（也就是在边界），它会对最初的核函数进行调整。当$x&lt;0$时，不管算出来的估计值是多少，都只需将密度的估计值取为0即可。
         </p>
         <h2>
          三、程序实现
         </h2>
         <p>
          下面这段程序是对本文的第一幅图进行“整容”，代码及效果图如下：
         </p>
         <pre class="brush: r">k=function(x) 3/4*(1-x^2)*(abs(x)&lt;=1);
a0=function(u,h)
{
	lb=-1;
	ub=pmin(u/h,1);
	0.75*(ub-lb)-0.25*(ub^3-lb^3);
}
a1=function(u,h)
{
	lb=-1;
	ub=pmin(u/h,1);
	3/8*(ub^2-lb^2)-3/16*(ub^4-lb^4);
}
a2=function(u,h)
{
	lb=-1;
	ub=pmin(u/h,1);
	0.25*(ub^3-lb^3)-0.15*(ub^5-lb^5);
}
kernel.new=function(x,u,h)
{
	k(x)*(a2(u,h)-a1(u,h)*x)/(a0(u,h)*a2(u,h)-a1(u,h)^2);
}
den.est=function(u,ui,h)
{
	sapply(u,function(u) ifelse(u&lt;0,0,mean(kernel.new((u-ui)/h,u,h))/h));
}
set.seed(123);
dat=rexp(1000,1);
x=seq(0,8,by=0.02);
y=den.est(x,dat,2*bw.nrd0(dat));
plot(x,y,type="l",ylim=c(0,1.2),main="Corrected Kernel");
lines(x,dexp(x,1),col="red");</pre>
         <p>
          <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/04/kde_corrected_kernel_n1000.png">
          </a>
         </p>
         <p>
          <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/04/kde_corrected_kernel_n1000.png">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/04/kde_corrected_kernel_n1000.png"/>
          </a>
         </p>
         <p>
          从中可以看出，边界的偏差问题已经得到了很好的改进。
         </p>
         <p>
          如果真实的密度函数的支集不是[0,+∞]，而是某一个闭区间[m,n]，那么偏差修正的过程与上面类似，只不过是要将$a_i(x)$定义为$a_i(x)=\int_{(x-n)/h}^{(x-m)/h}u^ik(u)du$。在编程序的时候，也只需把积分的上下限进行相应的调整即可。
         </p>
         <h2>
          四、参考文献
         </h2>
         <p>
          Jeffrey S. Simonoff, 1998.
          <em>
           Smoothing Methods in Statistics
          </em>
          . Springer-Verlag
         </p>
         <p>
          相关链接：
          <a href="http://pages.stern.nyu.edu/~jsimonof/SmoothMeth/" target="_blank">
           http://pages.stern.nyu.edu/~jsimonof/SmoothMeth/
          </a>
         </p>
         <div class="wumii-hook">
          <br/>
          <br/>
         </div>
        </div>
        <!-- .entry-content -->
        <footer class="entry-meta">
         <div class="author-info">
          <div class="author-avatar">
           <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/f09663fd5fc04bad5e5b09daddb86fe6?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
          </div>
          <!-- .author-avatar -->
          <div class="author-description">
           <h2 class="author-title">
            关于邱怡轩
           </h2>
           <p class="author-bio">
            中国人民大学统计学院硕士，普渡（
            <del>
             众生
            </del>
            ）大学博士研究僧
            <a class="author-link" href="http://cos.name/author/yixuanq/" rel="author">
             查看所有由邱怡轩发表的文章
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           </p>
          </div>
          <!-- .author-description -->
         </div>
         <!-- .author-info -->
        </footer>
        <!-- .entry-meta -->
       </article>
       <!-- #post -->
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         文章导航
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       <!-- .navigation -->
       <div class="comments-area" id="comments">
        <h2 class="comments-title">
         《
         <span>
          有边界区间上的核密度估计
         </span>
         》有22个想法
        </h2>
        <ol class="comment-list">
         <li class="comment even thread-even depth-1 parent" id="comment-1317">
          <article class="comment-body" id="div-comment-1317">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              fan
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1317">
              <time datetime="2010-04-11T16:46:20+00:00">
               2010/04/11 16:46
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             最近田茂再老师在讲这个问题。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给fan" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=1317#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1317", "1317", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-yixuanq bypostauthor odd alt depth-2" id="comment-1318">
            <article class="comment-body" id="div-comment-1318">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
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               <b class="fn">
                邱怡轩
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1318">
                <time datetime="2010-04-11T17:44:34+00:00">
                 2010/04/11 17:44
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               不明真相的本文作者表示压力很大……
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给邱怡轩" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=1318#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1318", "1318", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-odd thread-alt depth-1 parent" id="comment-1320">
          <article class="comment-body" id="div-comment-1320">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              huang shuai
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1320">
              <time datetime="2010-04-12T02:46:06+00:00">
               2010/04/12 02:46
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             这个办法看起来挺理论的，学习了！
             <br/>
             不过有个更简单的办法，直接对数据LOG后再在LOG后的数据上建密度函数，再转化过来，不就好了吗。–sliverman 84年那本书上是这么说的
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给huang shuai" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=1320#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1320", "1320", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-yixuanq bypostauthor odd alt depth-2 parent" id="comment-1322">
            <article class="comment-body" id="div-comment-1322">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/f09663fd5fc04bad5e5b09daddb86fe6?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                邱怡轩
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1322">
                <time datetime="2010-04-12T22:34:41+00:00">
                 2010/04/12 22:34
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               多谢提醒，我用对数变换的方法试了一下，公式是
               <br/>
               [latex]\hat{f}(x)=\frac{1}{nxh}\sum(\frac{\ln x-\ln x_i}{h})[/latex]
               <br/>
               程序如下：
               <br/>
               <code>
                k=function(x) 3/4*(1-x^2)*(abs(x)&lt; =1);
den.est=function(u,ui,h)
{
        sapply(u,function(u) ifelse(u&lt;0,0,
                mean(k((log(u)-log(ui))/h))/(u*h)));
}
set.seed(123);
dat=rexp(1000,1);
x=seq(0.01,8,by=0.05);
y=den.est(x,dat,2*bw.nrd0(log(dat)));
plot(x,y,type="l",ylim=c(0,1.2),main="Log Transformed");
lines(x,dexp(x,1),col="red");
               </code>
               <br/>
               <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/04/kde_log_trans.png"/>
               <br/>
               结果发现在很靠近0的时候出现了一个诡异的下降（可能是因为估计式的分母中有x，在0点无定义）。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给邱怡轩" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=1322#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1322", "1322", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
            <ol class="children">
             <li class="comment even depth-3 parent" id="comment-1742">
              <article class="comment-body" id="div-comment-1742">
               <footer class="comment-meta">
                <div class="comment-author vcard">
                 <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/0cc7fc3cc341072e1aa77b6e73b1be41?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
                 <b class="fn">
                  <a class="url" href="http://www.stat.wisc.edu/~zuo" rel="external nofollow">
                   C. Chandler Zuo
                  </a>
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1742">
                  <time datetime="2010-11-23T22:23:45+00:00">
                   2010/11/23 22:23
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
               </footer>
               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 直觉感觉：在对数变换之后，原始数据趋向于－INF的分布过于稀疏，nh不趋于正无穷。如果要使对数变换后的数据在-inf的位置上nh趋于正无穷，那么原数据在［0，1］区间上就不应该是均匀分布，在趋于0的位置上的密度应该呈指数增加。但是这个在实际中几乎不能做到，因此对数变换不能消除在0点位置上的一阶偏差。所以原文的方法是更好的处理方法。
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
             <li class="comment byuser comment-author-yixuanq bypostauthor odd alt depth-3" id="comment-1745">
              <article class="comment-body" id="div-comment-1745">
               <footer class="comment-meta">
                <div class="comment-author vcard">
                 <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/f09663fd5fc04bad5e5b09daddb86fe6?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
                 <b class="fn">
                  邱怡轩
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1745">
                  <time datetime="2010-11-24T15:30:29+00:00">
                   2010/11/24 15:30
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
               </footer>
               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 我稍微折腾了一下，基本上就是这个原因，推导在
                 <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2010/11/KDE-log-transform.pdf" rel="nofollow" target="_blank">
                  这里
                 </a>
                 。针对上面那个例子，把带宽调大些可以减轻那种现象，相当于是减小方差；但h一大，偏差又大了。如果从MSE方面考虑，还是需要做出一些权衡的。正文中的方法有个缺点是不能保证密度函数的积分是1，不知道是不是有人继续在这方面加以改进。
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
             <li class="comment even depth-3" id="comment-1748">
              <article class="comment-body" id="div-comment-1748">
               <footer class="comment-meta">
                <div class="comment-author vcard">
                 <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/0cc7fc3cc341072e1aa77b6e73b1be41?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
                 <b class="fn">
                  <a class="url" href="http://www.stat.wisc.edu/~zuo" rel="external nofollow">
                   C. Chandler Zuo
                  </a>
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1748">
                  <time datetime="2010-11-24T22:08:57+00:00">
                   2010/11/24 22:08
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
               </footer>
               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 恩，我应该更正一下，在0点附近的密度应该成倒数速率增加，因为d(logx)=1/xdx，这也解释了你方差的第一项。
                 <br/>
                 对于积分为1的问题，可以考虑标准化，但不知能否证明标准化的分母的MSE是否为分子MSE的高阶无穷小。
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
            </ol>
            <!-- .children -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
           <li class="comment byuser comment-author-yihui odd alt depth-2 parent" id="comment-1353">
            <article class="comment-body" id="div-comment-1353">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/1022d8e6ebc94e8f6bca9a86cebe312a?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                <a class="url" href="http://yihui.name" rel="external nofollow">
                 谢益辉
                </a>
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1353">
                <time datetime="2010-04-19T00:20:04+00:00">
                 2010/04/19 00:20
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               要是数据有负值呢？
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给谢益辉" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=1353#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1353", "1353", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
            <ol class="children">
             <li class="comment byuser comment-author-yixuanq bypostauthor even depth-3" id="comment-1356">
              <article class="comment-body" id="div-comment-1356">
               <footer class="comment-meta">
                <div class="comment-author vcard">
                 <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/f09663fd5fc04bad5e5b09daddb86fe6?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
                 <b class="fn">
                  邱怡轩
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1356">
                  <time datetime="2010-04-19T09:05:47+00:00">
                   2010/04/19 09:05
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
               </footer>
               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 这种变换的方法就是把有边界的区间变换到R上吧，比如如果X是[-1,+∞]上的，就令
                 <code>
                  Y=g(X)=log(X+1)
                 </code>
                 ，然后[latex]f_X(x)=f_Y(g(x))g'(x)[/latex]。
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
            </ol>
            <!-- .children -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="pingback odd alt thread-even depth-1" id="comment-1420">
          <div class="comment-body">
           Pingback：
           <a class="url" href="http://cos.name/2010/05/from-clt-simulation-to-normal-distribution/" rel="external nofollow">
            谢益辉: 从中心极限定理的模拟到正态分布 | 统计之都 (中国统计学门户网站，免费统计学服务平台)
           </a>
          </div>
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-odd thread-alt depth-1 parent" id="comment-1509">
          <article class="comment-body" id="div-comment-1509">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/10f658f78171d411d1fc1e9a86c4ab2e?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              李皞
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1509">
              <time datetime="2010-06-04T09:48:56+00:00">
               2010/06/04 09:48
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             理论虽然如此，但实际操作中a(x)，b(x)都怎么选取？能说说思路吗？
             <br/>
             还有p(x)的公式（倒数第二个）是怎么由倒数第三个导出的？
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给李皞" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=1509#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1509", "1509", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-yixuanq bypostauthor odd alt depth-2" id="comment-1514">
            <article class="comment-body" id="div-comment-1514">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/f09663fd5fc04bad5e5b09daddb86fe6?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                邱怡轩
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1514">
                <time datetime="2010-06-05T14:43:13+00:00">
                 2010/06/05 14:43
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               a_i(x)不是选出来的，它是对核函数进行积分的结果，积分的上下限与区间的边界有关，参见文中的定义式。只要核函数定了，区间定了，a_i(x)就定了。
               <br/>
               把p(x)当作是一个核函数，写出密度估计的表达式，变换后会发现与倒数第三个式子相等。简单地来说，对不同核函数的密度估计进行线性组合，相当于对核函数进行线性组合然后估计密度，前提是保证核函数和密度函数积分为1之类的。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给邱怡轩" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=1514#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1514", "1514", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-1576">
          <article class="comment-body" id="div-comment-1576">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/0cc7fc3cc341072e1aa77b6e73b1be41?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              ZUOCHEN
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-1576">
              <time datetime="2010-07-15T11:11:56+00:00">
               2010/07/15 11:11
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             膜拜一下，这个方法很好
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给ZUOCHEN" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=1576#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-1576", "1576", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1 parent" id="comment-2076">
          <article class="comment-body" id="div-comment-2076">
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             <b class="fn">
              任琼
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2076">
              <time datetime="2011-05-11T13:05:55+00:00">
               2011/05/11 13:05
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             您好，我们在用SAS编程求核密度的时候也遇到这个问题，在0附近的核密度都大于1，请问怎么解决这个问题呢？
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给任琼" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=2076#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-2076", "2076", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-yihui even depth-2 parent" id="comment-2077">
            <article class="comment-body" id="div-comment-2077">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
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               <b class="fn">
                <a class="url" href="http://yihui.name" rel="external nofollow">
                 谢益辉
                </a>
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2077">
                <time datetime="2011-05-11T13:13:35+00:00">
                 2011/05/11 13:13
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               为什么总是有人认为密度函数值一定要小于1呢？只有累积分布函数（CDF）取值是在[0, 1]上，密度函数没有小于1这种范围。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给谢益辉" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=2077#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-2077", "2077", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
            <ol class="children">
             <li class="comment odd alt depth-3 parent" id="comment-2080">
              <article class="comment-body" id="div-comment-2080">
               <footer class="comment-meta">
                <div class="comment-author vcard">
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                 <b class="fn">
                  yinuo
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2080">
                  <time datetime="2011-05-11T16:30:21+00:00">
                   2011/05/11 16:30
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
               </footer>
               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 根据定义，密度函数应该在[0,1]之间！
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
             <li class="comment byuser comment-author-yixuanq bypostauthor even depth-3" id="comment-2081">
              <article class="comment-body" id="div-comment-2081">
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                <div class="comment-author vcard">
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                 <b class="fn">
                  邱怡轩
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2081">
                  <time datetime="2011-05-11T19:00:11+00:00">
                   2011/05/11 19:00
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
               </footer>
               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 密度不是概率，不要求在[0,1]之间。你可以算一下正态分布N(0,0.000001)在0点的密度值。
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
             <li class="comment odd alt depth-3" id="comment-2102">
              <article class="comment-body" id="div-comment-2102">
               <footer class="comment-meta">
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                 <b class="fn">
                  一诺
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2102">
                  <time datetime="2011-05-13T09:12:30+00:00">
                   2011/05/13 09:12
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
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               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 是的。谢谢三楼。对于离散的分布列（在连续成为密度函数）的值是在[0,1]（由于此时的分布列即是概率值）；连续的密度函数值不一定在[0,1]之间，因为它只是函数值不是概率（三楼）；例如三楼给的dnorm(0,0,000001)=398942.3；均匀分布[0,0.01]密度函数值全是100！
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
            </ol>
            <!-- .children -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-2104">
          <article class="comment-body" id="div-comment-2104">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              苏栋
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2104">
              <time datetime="2011-05-14T07:46:43+00:00">
               2011/05/14 07:46
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             文章提供的方法很有实际意义。现实中的很多分布原本就有区间限制。
             <br/>
             我现在就碰到一个这样的问题。根据住院费用的一定赔付数据求出住院赔付的核密度估计。这里的费用明显是非负的。进而需要求解赔付的期望和方差。这里需要用到积分。
             <br/>
             但我遇到的问题是，因为要求根据病人男女不同，医院等级不同等，需要进一步求出每一个细分赔付的核密度估计，并求期望和方差。 根据文章中给出的核密度函数 den.est=function(u,ui,h) 。只需要求 den.est(u,ui,h)*u 在0-Inf上的积分 就可求解期望。 但是这样作用在三个数上的自定义函数，怎样运用tapply 和by 之类的函数实现快捷地对dat在其他条件限制下的核密度函数？一般运用tapply都只是求出了一个值，但是这里需要求出一个函数。如果每次人工将dat按条件挑出来，费时且当限制条件种类很多（如医院等级很多），容易出错。 不知道有没有什么好的方法？
             <br/>
             边学R边用，对R了解不是很深。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给苏栋" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=2104#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-2104", "2104", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1 parent" id="comment-2564">
          <article class="comment-body" id="div-comment-2564">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              Rtist
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2564">
              <time datetime="2011-11-15T10:12:08+00:00">
               2011/11/15 10:12
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             I like this boundary bias reduction trick, and it reminds me the somewhat remotely related generalized jackknife bias correction.
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给Rtist" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=2564#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-2564", "2564", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-yihui even depth-2" id="comment-2565">
            <article class="comment-body" id="div-comment-2565">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/1022d8e6ebc94e8f6bca9a86cebe312a?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                <a class="url" href="http://yihui.name" rel="external nofollow">
                 谢益辉
                </a>
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2565">
                <time datetime="2011-11-15T11:29:32+00:00">
                 2011/11/15 11:29
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               你终于来主站了，小的恭候大驾已几年：）
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给谢益辉" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/?replytocom=2565#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-2565", "2565", "respond", "2060" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-even depth-1" id="comment-2568">
          <article class="comment-body" id="div-comment-2568">
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             <b class="fn">
              Rtist
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
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             <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2568">
              <time datetime="2011-11-15T21:06:56+00:00">
               2011/11/15 21:06
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           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             I’m looking for more biostats/genomcis related topics here :D. One of the problems is to estimate the density of $p$-values on the unit interval, for which this trick could apply.
            </p>
            <p>
             BTW: The ULR for this article says “unbounded” region instead of “bounded” region:
             <a href="http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2564" rel="nofollow">
              http://cos.name/2010/04/kernel-density-estimation-with-unbounded-region/#comment-2564
             </a>
            </p>
           </div>
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            </a>
           </div>
          </article>
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         </li>
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            中国人民大学统计学院
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            中国人民大学数据挖掘中心
           </a>
          </li>
          <li>
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            北京大学商务智能研究中心
           </a>
          </li>
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           <a href="http://sam.cufe.edu.cn/" target="_blank" title="中央财经大学统计与数学学院网站">
            中央财经大学统计与数学学院
           </a>
          </li>
          <li>
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            首经贸统计学院
           </a>
          </li>
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             南糯山普洱茶
            </a>
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/r%e8%af%ad%e5%8d%83%e5%af%bb%e7%ac%ac%e4%b8%89%e6%9c%9f%ef%bc%9a%e5%bc%a0%e6%97%a0%e5%bf%8c%e7%a9%b6%e7%ab%9f%e7%88%b1%e8%b0%81%ef%bc%9f/#comment-7315">
            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            J
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/05/value-of-the-reputation-from-the-data/#comment-7314">
            数据告诉你：高信誉的卖家应该收高价，还是收低价？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            <a class="url" href="http://gg" rel="external nofollow">
             Hilda
            </a>
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2013/01/drawing-map-in-r-era/#comment-7311">
            R时代，你要怎样画地图？
           </a>
           》
          </li>
         </ul>
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            处理时间数据和产生时间序列的问题
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            《统计陷阱》下载 （How to lie with statistics）
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            统计学的世界（第五版）
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            class(x) 返回值值是AsIs,AsIs代表什么，有什么用处？
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            如何用R绘制一个分类算法的决策规则
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